Question

【难的物理受力分析题】

如图，
半球的半径为r，光滑，竖直墙面光滑，直杆和水平夹角为60°，静止。
求质感的长度。（答案：1+根号13/13）。
急需分析及过程，谢谢。

Answer 1

你这图画的有点怪，是不是要顺时针旋转90度？
先对杆进行受力分析，可知杆受到三个力的作用，即：重力G（作用点在杆的中心，竖直向下），墙对它的支持力N（垂直于墙面，由于墙面光滑，故没有摩擦力），半球对它的支持力F（指向半球球心，半球光滑，故没有摩擦力）。
由力矩分析可得，令直杆在半球上的支点为A点，那么N对A点的力矩等于G对A点的力矩。所以，由条件“直杆和水平夹角为60°”可知：N*Lsin60=G*Lcos60/2(L为直杆长度)，即G=2*[3^（1/2）]N。[二倍根号三N]
F等于N和G的合力为F=[根号（13/12）]G。F与水平夹角为a=arctan(G/N)。
从点A到墙面的垂直距离为L/2。也可以写成是r+r*cosa=r+r*(根号13/13)。
因此，直杆长度为（1+根号13/13）*2r。

Answer 2

设半圆圆心与支撑点连线与水平面夹角a 杆长L。

1、力矩平衡。
以半球支撑点为圆心，重力矩与墙面弹力矩平衡。
有G* 0.5L * sin30 = N*L*cos30
得到N= 0.5*tan30 * G = （根号3）/6 *G

2、合力平衡。
在L中点，的竖直延长线上，存在重心点Q，在Q点，有3力合力平衡。
其中半球的弹力N'大小=（G^2+N^2)^(1/2)

N’=（根号39）/6 G

方向由接触点指向圆心，与水平面夹角a。

可以求得a= arcsin （6/根号39）

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则L在水平面的投影长度
L'=r+r*cosa
=r(1+ 1/根号13）

L=2L'= 2r(1+1/根号13）