Question

这个题怎么做（高数，物理）

一个质量为m=1kg的爆竹，以初速度v0=21m/s铅直飞向高空，上升中空气阻力与速度平方成正比，比例系数k=0.025 kg/m，就能够到达的最高高度

Answer 1

运动微分方程 mdv/dt=-mg-kmv²
即 dv/dt =-g -kv²
变换：dv/dt =vdv/dx
所以 vdv/dx= -g-kv²
分离变量 (v/kv²+g)dv= -dx
积分：(1/2k)ln(kv²+g)=-x+C
有初始条件 x=0 v=v0 解得 C= (1/2k)ln(kv0²+g)
所以 x= (1/2k)ln[(kv0²+g)/(kv²+g)]
当 v=0 时，x= (1/2k)ln[(1+(kv0²/g)]
即为 最大高度
代入 数据 x=14.8m

Answer 2

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追问

有啊……问题补充

追答

这个用积分做。
初始条件是：t＝0时，V＝V0　，X＝0　（开始计时位置为　X＝0）
分析：爆竹上升过程中，受到重力mg、空气阻力 f 的作用，由牛二得
－（mg＋f）＝m a　　，以竖直向上为正方向
其中，f＝K * V^2 ，a＝dV / dt
即　－（mg＋K * V^2）＝m * dV / dt
m * dV /（mg＋K * V^2）＝－dt
两边同时积分，并结合初始条件就能得到　V 随 t 的变化函数关系 V(t) 。
再由　V＝dX / dt 得
X＝∫ V dt　
结合初始条件就能得到　X 随 t 的变化函数关系 X(t) 。
将　V(t) 、X(t) 联立消去 t ，就可得到 X 随 V 的函数关系。
当 V＝0时，X的数值就等于上升的最大高度。