Question

等腰RT△ABC中，∠ABC=90°，点P在AC上，将△ABP绕点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ。

当点P在线段AC上运动时(P不与A重合),请写出一个反映PA²，PC²，PB²之间关系的等式，并加以证明。

不好意思，图没有，请各位自己画个图，帮我想想怎么做。请把过程写详细点，谢谢！

Answer 1

PA²，PC²，PB²之间关系是：(PA^2)+(PC^2)=2(BP^2)

证明：如图，由题意知，旋转后，

△ABQ≌△CBP,且∠PBQ=90°

所以：PB=QB,AB=BC,AQ=CP,∠BAC=∠BAP'=45°，

所以：∠QAP=90°

所以：在RT△APQ中，有(AQ^2)+(AP^2)=QP^2

而AQ=CP,QP^2=2(BP^2)

所以：（PC^2)+(PA^2)=2(PB^2)

Answer 2

AP²+CP²=2BP²
证明：连接PQ

∵△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBQ
∴AP=CQ BP=BQ AP⊥CQ PB⊥BQ
又∵△ABC是等腰RT△
∴AB=AC

在△PBQ中：
BQ²+BP²=PQ²
即 2BP²=PQ²

在△CPQ中：
CP²+CQ²=PQ²
即AP²+CP²=PQ²
根据等量代换原理可得：
AP²+CP²=2BP²