Question

求幂级数的收敛域n!(x/n)^n

Answer 1

第n+1项是(n+1)!(x/(n+1))^(n+1)
第n项是n!(x/n)^n
两者相除=(n+1)!(x/(n+1))^(n+1)/[n!(x/n)^n]=(n+1)*(x/n)*(n/(n+1))^(n+1)=(n+1)*(x/n)*([(n+1)-1]/(n+1))^(n+1)
n趋近于正无穷时上式=(n+1)*(x/n)*1/e=x/e
所以收敛域是(-e,e)，再考察一下端点
x=e时由斯特林公式可知，an在n趋于无穷时=1，所以发散
故
x=-e时，an在n趋于无穷时是交错的正负1，所以发散
所以收敛域是(-e,e)

Answer 2

引用liubiao1225的回答：
第n+1项是(n+1)!(x/(n+1))^(n+1)
第n项是n!(x/n)^n
两者相除=(n+1)!(x/(n+1))^(n+1)/[n!(x/n)^n]=(n+1)*(x/n)*(n/(n+1))^(n+1)=(n+1)*(x/n)*([(n+1)-1]/(n+1))^(n+1)
n趋近于正无穷时上式=(n+1)*(x/n)*1/e=x/e
所以收敛域是(-e,e)，再考察一下端点
x=e时由斯特林公式可知，an在n趋于无穷时=1，所以发散
故
x=-e时，an在n趋于无穷时是交错的正负1，所以发散
所以收敛域是(-e,e)

x=e的时候，由斯特林公式，等于lim(n→无穷)（2πn）^(1/2)=无穷≠0，所以发散。