Question

矩阵对角化问题，高手进！

设A=[0 0 1;1 1 x;1 0 0]。问当x为何值时，矩阵A能对角化？
本题是书上的一道例题，我看其中的一部分有些晕：
“对应特征值-1，可求得线性无关的特征向量恰有1个“。
我怎么算这个特征向量都是含有x为未知数的：[-1 ; (1-x)/2 ; 1]，请问这样的特征向量也算一个吗？该如何理解呢？

Answer 1

矩阵可对角化的充要条件是对于每个特征值αi,有αi的重数等于度数
也就是说，比如矩阵A可以对角化，且有一个特征值a且a为5重根，则对于a必须有5个线性无关的特征向量。
这题
A=[0 0 1;1 1 x;1 0 0]
A的特征多项式为-α^3+α^2+α-1
解得α1=α2=1 α3=-1
对于特征值1
A的特征方程为 (x1-x3=0;x1+x*x3=0)
A有特征向量（0，1，0）要使另外一个特征向量与之线性无关,必须有x1=x3≠0
因为x1+x*x3=0 得到 x1(1+x)=0,因为x1不等于0，那么只能1+x=0
所以x=-1
因为对于不同特征值的特征向量必线性无关，所以对于α3=-1无需考虑
因此x=-1时，A可以对角化