Question

判定这个无穷级数的收敛性，求过程，谢谢！

Answer 1

对于无穷级数来说，判断敛散性有以下几种方法：
正项级数：
1、比较判别法。对于大部分正项级数来说，这是一个简单可行的方法，其思想是与另一个已知收敛或者发散的级数进行比较，许多更为精细的判别法是由此衍生。
2、Cauchy判别法（根值判别法），具有一定的局限性，但是对于许多特别的级数具有很好的效果。
3、D'Alembert判别法（比值判别法），对于含有阶乘的很好用，但是适用范围不如Cauchy判别法广。
4、Raabe判别法和Gauss判别法部分高数书中可能没有涉及，主要原因是不如柯西和达朗贝尔判别法应用广泛，但是对于部分柯西无法判别的级数可以用此进行判断。
5、Cauchy积分判别法，对于特定级数和其积分形式同敛散。
6、除了以上介绍的关于正项级数的判别法，还有一些是在绝大部分数学分析书中没有提到的，比如：Bertrand判别法（这是一系列更为精细的判别法，一般用不到），Cauchy凝聚判别法，Sapagof判别法，Kummer判别法，等，这些具体内容我就不一一简介，有兴趣的话可以查阅资料。
非正项级数：
1、交错级数的Leibniz判别法。
2、Dirchlet判别法。
3、Abel判别法。
上面我所陈述的狄利克雷和阿贝尔判别法互不兼容，一个的条件比另一个强，一个条件比另一个弱。
4、如果你非想要找出对所有级数都可以适用的判别法，那就是Cauchy收敛原理。但是，越通用的判别法对于大部分级数来说越不容易使用，就像用极限的定义去求某个函数的极限一样，请问有几个人会去用定义证明？
由于楼主没有给出具体的题目，这里就没办法具体解答了，以上是近期学级数的个人感悟。有疑问请追问。

追问

这些我都知道，就是不知道怎样写啊，比如比较审敛法

这些我都知道，就是不知道怎样写啊，比如比较审敛法

追答

你得先告诉我题目是什么啊→_→

追问

尴尬

追答

不好意思现在才看到，回答晚了，希望没有耽误你的事，
首先，把（-1/2）^n提出去一个1/2^n,则可以消去前面的2^n,
原级数化为(-1)^n*1/(n^2+1)
根据Dirichlet判别法收敛，加绝对值，1/(n^2+1)~1/n^2
同样收敛，因此是绝对收敛。有疑问请追问。