Question

实数x、y满足4x^2-5xy+4y^2=5，设S=x^2+y^2，求S的最值

Answer 1

不可否认，楼上两位采用的方法是个不错的方法，但却不具有一般代表性，比如
换成4x^2-5x^2y+4y^3=5，或S=x^3+x*y^2等等，使用三角换元代换可能是解不出的，比较同用的方法是“拉格朗日乘数法”
设F(x,y)=x^2+y^2+q*(4x^2-5xy+4y^2-5)
然后让F对x,y,q计算偏导并使之为0，求出x,y,q,（x,y）所对应的就是S的极值点。

Answer 2

x=√s cosB y=√s sinB
4x^2-5xy+4y^2=5
4(√s cosB)^2-5√s cosB*√s sinB+4(√s sinB)^2=5
4s (cosB)^2-5s sinBcosB+4s (sinB)^2=5
4s-5s/2 sin2B=5
因为：-1《sin2B《1
所以：s=5/(4-5/2 sin2B)∈[10/13, 10/3]
所以s的最大值为：10/3,最小值为：10/13

Answer 3

啊啊啊，居然还有这种题目，寒死。。。
设x=a+b,y=a-b
4x^2-5xy+4y^2
=4(a^2+2ab+b^2)-5(a^2-b^2)+4(a^2-2ab+b^2)
=3a^2+13b^2
即
3a^2+13b^2=5
设
a=√（5/3）*cosα
b=√（5/13）*sinα
代入后式。。。

再说一种方法，运用极坐标，
设x=ρcosα,y=ρcosα
那么s=x^2+y^2=ρ