Question

如何证明闭区间上的连续函数一致连续

Answer 1

任给e>0，由连续函数定义，对任意[a，b]中的x，有相应的dx>0，只要y属于[a,b]且在(x-dx,x+dx)内，就有|f(y)-f(x)|<e。

对每个x，都能如上找到对应的开邻域，这些开邻域覆盖整个闭区间[a，b]，由于[a，b]是紧集，存在有限开覆盖(x1-dx1，x1+dx1)...(xn-dxn，xn+dxn)，令d=min(dx1...dxn)，则对任意[a，b]中的x，只要y属于[a，b]且在(x-d，x+d)内，就有|f(y)-f(x)|<e，所以一致连续。

扩展资料：

注意事项：

利用函数极限的运算，可以得到连续性关于函数运算的不变性。

存在一个区间上的连续函数，使得不是有界函数，可以暂且理解为对不同邻域上的有界性有程度上的区别，或者说局部有界性和一致有界性是不同的。

因为区间上的收敛数列不一定有区间上的极限，这也解释了为什么闭区间上的连续函数有界，而开区间上的连续无界函数的无界区间总是在边缘处。

函数f在点x0的某邻域内有定义，若函数f在点x0有极限且此极限等于该点的函数值，即limf(x)=f(x0)，则称f在点x0连续x→x0。

参考资料来源：百度百科-连续函数

参考资料来源：百度百科-闭区间

Answer 2

欲证明在开区间连续，要证明在每一点都连续。

只要证明在这区间内的某一点 有定义，左右极限相等，进而可以证明在开区间内连续，但是这一点必须具有任意性。

欲证明在闭区间连续，先证明在开区间连续，再证明在左端点右连续，在右端点左连续即可。

连续函数的特点：

1、实变函数论和泛函分析中，有许多典型函数和线性算子，对考察和理解一些基本概念，诸如集合的稠密性，空间的完备性，函数的一致收敛等等具有重要作用，对深入理解这些概念有帮助。

2、使用基本点列是否收敛来定义，就是因为一个点列是基本点列，但是它的极限可能不在该空间中，这就是说在该空间没有极限，尽管它是基本点列，但是只要适当扩展空间的范围就收敛了，也就是完备了。如果使用点列是否收敛来判断就不准确了，因为不收敛的点列范围太大了。

Answer 3

以下证明摘自张筑生《数学分析新讲》：

Answer 4

任给e>0,由连续函数定义,对任意[a,b]中的x,有相应的dx>0
只要y属于[a,b]且在(x-dx,x+dx)内,就有|f(y)-f(x)|对每个x,都能如上找到对应的开邻域,这些开邻域覆盖整个闭区间[a,b],由于[a,b]是紧集,存在有限开覆盖(x1-dx1,x1+dx1)...(xn-dxn,xn+dxn)
令d=min(dx1,...,dxn),
则对任意[a,b]中的x,只要y属于[a,b]且在(x-d,x+d)内,就有|f(y)-f(x)|所以一致连续

Answer 5