Question

已知三角形ABC中,AB=AC,D,E在三角形ABC中，AB=AC,点D,E是BC边上的点，

将三角形ABD绕点A旋转，得到三角形ACD’，连接D'E
1.当∠BAC=120°，∠DAE=60°时，求证DE=D'E
2.当DE=D'E是，∠DAE与∠BAC又怎样的数量关系？请说明
3.在2的结论下，当∠BAC=90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△D'EC是等腰直角三角形?请说明理由。
4.在2的结论下，当∠BAC=90°。当BD：DE=1：2时，试求∠BAD+∠AD’E的度数之和。

Answer 1

（1）证明：∵AB=AC
∴旋转后AB于AC重合。
有旋转得：
AD=AD' ∠BAD=∠CAD'
∵∠DAE=60°,∠BAC=120°
∴∠BAD+∠CAE=60°
∴∠CAD'+∠CAE=60°
即∠DAE=∠EAD
在△ADE和△AD'E中
AD=AD'
∠DAE=∠EAD
AE=AE
∴△ADE≌△AD'E（SAS）
∴DE=D'E

（2）∠BAC=2∠DAE
理由：旋转得AD=AD'
连接AE
∵DE=DE'
在△ADE和△AD'E中
AD=AD'
AE=AE
DE=D'E
∴△ADE≌△AD'E（SSS）
∴∠DAE=∠D'AE=∠EAC+∠D'AC=∠EAC+∠BAD
即∠DAE=∠EAC+∠BAD
∴∠BAC=∠DAE+∠EAC+∠BAD=2∠DAE
即∠BAC=2∠DAE

（3） DE=根号2*BD
（由1,2得到DE=D'E 若△ABC,D'EC均为等腰直角三角形，D'C=CE ∠D'CE=∠AD'C+∠ACB=∠BAD+∠ACB=90° D'E=CE*根号2 C'D=BD ∴BD=DE=D'E=CE*根号2 即 DE=根号2*BD）