Question

已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=0,且在（-∞，0）上单调递增，如果x1+x2＜0且x1x2＜0，则f(x1)+f

已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=0,且在（-∞，0）上单调递增，如果x1+x2＜0且x1x2＜0，则f(x1)+f(X2)的值
A.可能为0 B。恒大于0 C.恒小于0 D.可负可正

Answer 1

解由x1+x2＜0且x1x2＜0

知x1，x2异号，且负数的绝对值较大，
若设x1是负数，则x2是正数
则由x1+x2＜0
则x1＜-x2＜0
由函数f(x)在（-∞，0）上单调递增

则f（x1）＜f（-x2）
又由f(x)+f(-x)=0

即f（-x）=-f（x）
则f（x1）＜-f（x2）
即f（x1）+f(x2)＜0

设x2是负数，则x1是正数
则由x1+x2＜0
则x2＜-x1＜0
由函数f(x)在（-∞，0）上单调递增

则f（x2）＜f（-x1）
又由f(x)+f(-x)=0

即f（-x）=-f（x）
则f（x2）＜-f（x1）
即f（x1）+f(x2)＜0
故综上知f（x1）+f(x2)＜0
选C.

Answer 2

f(x)+f(-x)=0 故函数是奇函数

f（0）=0
f（x）在（-∞，0）上单调递增

根据奇函数性质得到f（x）在R上递增
x1+x2＜0 x1<-x2

得到f（x1）<f(-x2)=-f(x2)
得到f（x1）+f（x2）<0
故答案是C