Question

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已知椭圆上一点P,∠PF1F2=α,∠PF2F1=2α,求离心率?
解题过程

Answer 1

作∠PF2F1的角平分线F2D交PF1于D
则△PF2D∽△PF1F2
∴PF2/PD=PF1/PF2 ①
又由三角形角平分线性质有
PF2/DP=F1F2/F1D ②
由②有 PF2/DP=(PF2+F1F2)/(DP+F1D)=(F2F1+PF2)/F1P ③
由①③得 PF1/PF2=(F2F1+PF2)/F1P
∴PF1/PF2=[PF1+(F2F1+PF2)]/(F1P+PF2)=(2c+2a)/2a=e+1 ④
设P纵坐标为y，则
|PF1|=|y|/sinα
|PF2|=|y|/sin2α
∴PF1/PF2=sin2α/sinα=2cosα ⑤
由④⑤得 e=2cosα-1

Answer 2

e=2cosα-1