Question

如图5，菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上，∠AEF=60°，求证△AE

如图5，菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上，∠AEF=60°，求证△AEF是等边三角形。

Answer 1

菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上，∠AEF=60°，
设AB=1，BE=x,0<x<1,∠BAE=a,
则∠CEF=120°-∠AEB=∠BAE=a,∠CFE=60°-a,EC=1-x,
由正弦定理,AB/sin(60°+a)=BE/sina,
∴sina=xsin(60°+a),①
AE=BEsinB/sina=x√3/(2sina),
EF=CEsinC/sin∠CFE=(1-x)√3/[2sin(60°-a)]=(1-x)√3/(√3cosa-sina),
2(1-x)sina-x(√3cosa-sina)=2sina-x(√3cosa+sina)=2[sina-xsin(60°+a)]=0（由①）
∴AE=EF,
∴△AEF是等边三角形。