Question

若数列an为等比数列,且a1=2 q=3 求sn=1/a1a2+1/a2a3+.....+1/ana(n+1)

Answer 1

（1）
∵﹛an﹜是等比数列
∴an=a1q^(n-1)=2^(n-1)
∴1/ana(n+1)=1/[2^(n-1)2^n]=1/2^(2n-1)=1/[2×4^(n-1)]=1/2×(1/4)^(n-1)
(注意这是一个新的等比数列)
∴tn=1/2×[1-(1/4)^n]/(1-1/4)=2/3[1-(1/4)^n]
（2）
六个数为2,a2,a3,a4,a5,18
根据等比数列的性质可知：
2+18=a2+a5=a3+a4=20
∴和为20×3=60

Answer 2

a2=a1q=6
bn=1/ana(n+1)
则bn/b(n-1)=a(n-1)/a(n+1)=1/q²=1/9
即b1=1/12
bn公比是1/9
所以Sn=b1+……+bn
=1/12*(1-1/9^n)/(1-1/9)
=3/32*(1-1/9^n)

Answer 3

an=a1q^(n-1)=2×3^(n-1)=
1/[ana(n+1)]=1/4[3^(n-1)×3ⁿ]=1/12*9^(n-1)
1/(a1a2)=1/12*9^(1-1)=1/12
1/[a(n+1)a(n+2)]/[1/ana(n+1)]=an/a(n+2)=3^(n-1)/3^(n+1)=1/9，为定值。
数列{1/[ana(n+1)]}是以1/12为首项，1/9为公比的等比数列。
Sn=1/(a1a2)+1/(a2a3)+...+1/[ana(n+1)]
=(1/12)×[1-(1/9)ⁿ]/(1-1/9)
=3/32 -1/96*9^(n-1)