Question

3道数学分析证明题！（实分析，数列，极限）

当n趋近无穷时，数列Sn/n=非零常数C，求证：数列Sn发散向无穷
实数方程f 在R上一致连续，若定义fn(x)=f(x+1/n)，求证：数列fn一直连续并趋向f.
求证：不存在连续方程g:R->R 使得g(x)=c有恰好两个解(c为任一实数）
谢谢！！！
第二题应为：求证：数列fn一致连续并趋向f

Answer 1

1、不妨设C>0，因为limS[n]/n=C，所以存在N，当n>=N'时|S[n]/n-C|<C/2，即S[n]>Cn/2
任意给定正数M，只要取N=max{N',2M/C}，当n>=N时，S[n]>Cn/2>=M，所以S[n]发散到无穷
2、任意给定正数a，存在正数b，当|x-x'|<b时，|f(x)-f(x')|<a
所以对任意a，当|x-x'|=|(x+1/n)-(x'+1/n)|<b时，|f(x+1/n)-f(x'+1/n)|<a，即fn(x)一致连续
因为f(x)连续，对任意a，取一个N>1/b，当n>=N时，|(x+1/n)-x|<b，所以|fn(x)-f(x)|=|f(x+1/n)-f(x)|<a，所以limfn(x)=f(x)
3、假设存在。
g(x)=0有2个解，设为a,b(a<b)，则在[a,b]上，g(x)有最大值g(x1)=M最小值g(x2)=m。
如果0既是最大值又是最小值，则矛盾。
如果0既不是最大值又不是最小值，则x1,x2∈(a,b)，在x1,x2之间还有一个x3使得g(x3)=0，矛盾。
所以0抑或是最大值，抑或是最小值，不妨设是最小值。因为g(x)=M恰有2个解x1,x4，所以[a,b]中要么有1个解，要么有2个解。
如果有1个解，则x4在[a,b]之外，不妨设x4>b，任取M'∈(0,M)，则g(x)=M'在(a,x1),(x1,b),(b,x4)都有解，矛盾。
如果有2个解，不妨设x1<x4，则g(x)在[x1,x4]上有最小值m'∈(0,M)，所以g(x)=m'在(a,x1),(x1,x4),(x4,b)上都有解，矛盾。
所以不存在。