Question

高等数学计算



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Answer 1

6
a)
泰勒级数展开：
因为coshx=(e^x+e^(-x))/2，所以
原极限=lim{[x(x^2-(x^6/6)+o(x^9)]-[x^3-(x^9/6)+o(x^9)]}/(x^7)
=-1/6

b)
泰勒级数展开：
=lim{[(1+x+(x^2/2)+x^3/6+o(x^3)+1-x+(x^2/2)-x^3/6+o(x^3)]/2-(1-x^2/2+o(x^3)}/(x^2)
=1

c）
在分母上，用等价无穷小x^2代替sin(x^2），
所以和b中一样，
=1

d)
用三角函数和差化积公式，
cosx-cos2x=cos(3x/2-x/2)-cos(3x/2+x/2)
=2sin(3x/2)sin(x/2)
带入原式，并用等价无穷小替换得到:
=lim[2sin(3x/2)sin(x/2)]/(xsin4x)
=lim(2*(3x/2)*(x/2))/(x*4x)
=3/8

7
a,b,d,e都是奇函数在一个关于x对称的域内的积分，=0
c
=（5/3)x^(3/5) |(0到1）
=5/3

8
a)
设ak=(2^k)ln(1+k)(x^k)/k
令lim|a(k+1)/ak|=lim|[2kln(2+k)x / ln(1+k)(k+1)]|=2|x|<1
所以|x|<1/2
得到收敛半径R=1/2
因为lim[ln(1+k)/k]=lim[ln(1+k)^(1/k)]=lne=1,不等于0.
所以x=1/2和-1/2时，都不收敛，
所以收敛区间(-1/2,1/2)。
而且在整个收敛区间(-1/2,1/2)，均满足lim|a(k+1)/ak|<1，
所以绝对收敛区间(-1/2,1/2)。
综上，收敛半径R=1/2, 收敛域(-1/2,1/2)。
在(-1/2,1/2)上满足绝对收敛。

b)
过程同a，得到收敛半径R=√3.
因为1/ln(1+k)>1/(k+1),
所以在端点-√3和√3处，均发散。
收敛域(-√3,√3)。
而且在(-√3,√3)满足绝对收敛.

c)
过程同a,得到收敛半径R=1/2.
收敛域[-1/2,1/2)
其中在(-1/2,1/2)上绝对收敛，
在x=-1/2上条件收敛

Answer 2

6.a)sinx=x-x^3/3!+o(x^3)
原式=lim【x^3-x^7/6+o(x^7)】-【x^3+o(x^9)】/sinx^7
=lim【-x^7/6+o(x^7)】/x^7
=-1/6

b),c)d)都是一样，分子做泰勒展开，展开到分母同阶即可，加减后，替换分母同阶无穷小（x^n），做除法。

7.a）可以换元，令x=sint
其实，被积函数 为奇函数，积分区域对称，所以结果为0
b）一样 为0
c) 原函数为 5/3*x^(3/5),积分即可 为5/3
d) 一样为0
e）一样为0

...有人回答了。看他的吧。他是对的

追问

请问怎么一眼看出是对称的呢