Question

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Answer 1

1)∵∠ABC=60度∴∠ABP+∠CBP=60度
又∵∠ABP+∠PAB=60度∴∠CBP=∠BAP
又∵∠APB=∠BPC
∴△APB∽△BPC
∴BP^2=PA×PC=12
∴PB=2√3
(2)在锐角三角形ABC外侧作等边三角形ACB'连接BB'，CB'
因为是锐角三角形，即可在BB'上选取一点P，使得∠APB=120度
则∠APB'=60度，又∠ACB'=60度
所以A,P,C,B'四点共圆
所以∠CPB'=∠CAB'=60度
综上，∠APC=∠BPC=120度，可知P为费马点
再证BB'=PA+PB+PC
延长PC并截取CE=AP,连接EB'
因为内接的关系，易知∠PAB'+∠PCB'=180度，∠PAB'=∠ECB'
易证△PAB'≌△ECB',又∵∠B'EP=∠B'PE=60度
∴PB'=EB'=PE=PC+CE=PC+PA
得证BB'=PA+PB+PC 好评谢谢