Question

数学大神帮帮忙

如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，AB=AD=6，DE⊥DC交AB于E,DF平分∠EDC交BC于F，连接EF。（1）求证：EF=CF.（2）当tan∠ADE=1:3时，求EF的长

Answer 1

如图，过点D作BC的垂线，垂足为G

已知AD//BC，∠A=90°，DG⊥BC；且AB=AD=6

所以，四边形ABGD为正方形

所以，∠ADG=90°

已知CDE=90°

所以，∠ADE=∠GDC=90°-∠EDG

又，AD=GD

∠A=∠CGD=90°

所以，△ADE≌△GDC（ASA）

所以，DE=DC

已知DF为∠CDE平分线，则∠EDF=∠CDF

DF公共

所以，△EDF≌△CDF（SAS）

所以，EF=CF

已知tan∠ADE=AE/AD=1/3，AD=6

所以，AE=2

由前面证知：CG=AE=2

设FG=x，那么：CF=x+2

那么，BF=BG-FG=6-x；EF=CF=x+2

在△BEF中由勾股定理有：BE²+BF²=EF²

===> 4²+(6-x)²=(x+2)²

===> 16+36-12x+x²=x²+4x+4

===> 16x=48

===> x=3

所以，EF=CF=x+2=5

Answer 2

1、证明：
∵∠AGF＝∠ABC
∴GF∥BC（同位角相等，两直线平行）
∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）
∵∠1+∠2＝180
∴∠3+∠2＝180
∴BF∥DE（同旁内角互补，两直线平行）
2、解：
∵DE⊥AC
∴∠DEC＝90
∴∠2＝∠DEC+∠C
∴∠C＝∠2-∠DEC＝150-90＝60
∵GF∥BC
∴∠AFG＝∠C＝60°（两直线平行，同位角相等）

追问

大神啊，是这个图！