Question

什么是中国古代余数定理？

Answer 1

多项式余数定理是指一个多项式 f(x) 除以一线性多项式 x - a 的余数是 f(a)。例如，(5x^3 + 4x^2 - 12x + 1) / (x - 3) 的余数是 5(3)^3 + 4(3)^2 - 12(3) + 1 = 136

学习研究中国文化，感叹中国人的聪明才智差不多全用在了社会科学上面。古代文人秀才们醉心诗词歌赋，擅长对联书法，讲究文采韵律，而轻视对数学等自然科学的研究。
　　学习研究现代数学，感叹以外国科学家名字命名的定理比比皆是，仿佛进入西方世界。作为五千年文明古国，我们对自然科学的贡献不成比例。
　　当然情况也有例外。
　　在数学发展史上，剩余问题（即：在整数除法里，一个数同时除以几个数，整数商后，均有剩余；已知各除数及其对应的余数，要求适合条件的这个被除数。这类问题统称剩余问题）曾经困扰过人们很长一段时间。这个问题的解决，是我们中国人迈出了开拓性的第一步。一、中国余数定理的出处　　早在1500年前，我国古代数学名著《孙子算经》中，记载了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何。”这是世界上最早提出剩余问题的书面记载。用现在的话来说就是：“有一批物品，3个3个地数余2个，5个5个地数余3个，7个7个地数余2个，问这批物品最少有多少个?”这个问题怎么求解呢？后来数学家程大位把这一解法编成四句歌诀：
　　　　三人同行七十（70）稀，
　　　　五树梅花廿一（21）枝，
　　　　七子团圆正月半（15），
　　　　除百零五（105）便得知。
　　歌诀中每一句话都是一步解法：第一句指除以3的余数用70去乘；第二句指除以5的余数用21去乘；第三句指除以7的余数用15去乘；第四句指上面乘得的三个积相加的和如超过105，就减去105的倍数，就得到答案了。即：
　　　　70×2＋21×3＋15×2－105×2=23
　　《孙子算经》的“物不知数”题虽然开创了一次同余式研究的先河，但由于题目比较简单，甚至用试猜的方法也能求得，所以尚没有上升到一套完整的计算程序和理论的高度。真正从完整的计算程序和理论上解决这个问题的，是南宋时期的数学家秦九韶。秦九韶于公元1247年写成的《数书九章》一书中提出了一个数学方法“大衍求一术”，系统地论述了一次同余式组解法的基本原理和一般程序。至此，由《孙子算经》“物不知数”题开创的一次同余式问题，才真正得到了一个普遍的解法，并逐渐受到世界学者的瞩目。因为学术界公认它是中国人首先发现的，于是在西方数学史著作中正式被称为“中国余数定理(Chinese Remainder Theorem)”。中国余数定理是我国对数学科学作出的重大贡献，为中国人在现代数学中争得了一席之地，令人眼前一亮。二、中国余数定理的算理　　⑴如果被除数加上除数的整数倍，除数不变，则余数不变。即：如果a除以b余数为c，那么(a+nb)除以b余数也为c（c〈b）。
　　⑵如果被除数扩大几倍，除数不变，则余数也扩大同样的倍数。即：如果a除以b余数为c，那么na除以b余数为nc（c〈b，nc〈b）。
　　⑶如果整数a除以自然数b（b≠0），余数r仍不小于b，则r除以b的余数等于a除以b所得余数。

　　对于《孙子算经》中的“物不知数”问题：先从5和7、3和7、3和5的公倍数中相应地找出分别被3、5、7除均余1的较小数70、21、15。即
　　　　70÷3=23……余1，
　　　　21÷5=4……余1，
　　　　15÷7=2……余1。
　　再用找到的三个较小数分别乘以被3、5、7除所得的余数的积连加，
　　　　70×2+21×3+15×2=233。
　　最后用和233除以3、5、7三个除数的最小公倍数。
　　　　233÷105=2……余23，
　　这个余数23就是合乎条件的最小数。
　　以上三个步骤适合于解类似的所有问题。

　　例如：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？
　　题中3、4、5三个数两两互质。
　　则[4，5]=20；[3，5]=15；[3，4]=12；[3，4，5]=60。
　　为了使20被3除余1，用20×2=40；
　　为了使15被4除余1，用15×3=45；
　　为了使12被5除余1，用12×3=36。
　　然后，40×1＋45×2＋36×4=274，
　　因为，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的数。三、中国余数定理的应用　　例1：一筐苹果,如果按5个一堆放,最后少2个。如果按6个一堆放,最后也少2个。如果按7个一堆放,还多出1个。这筐苹果至少有多少个。
　　解：苹果数除以5余3，除以6余4，除以7余1。
　　　　从6和7的公倍数42,84,126,……中找到除以5余1的数是126。
　　　　从5和7的公倍数35,70,105，140，175……中找到除以6余1的数是175。
　　　　从5和6的公倍数30,60,90，120，……中找到除以7余1的数是120。
　　　　5,6,7的最小公倍数是5×6×7=210。
　　　　所以,这筐苹果至少有
　　　　126×3＋175×4＋120×1-210×5=148个。

　　例2：一盒乒乓球,三个三个数多二个,五个五个数多四个,七个七个数多六个,问至少有多少乒乓球?
　　解：设至少有x个乒乓球,则x+1是3,5,7的最小公倍数[3,5,7]=3×5×7=105。
　　　　x+1=105,
　　　　x=104。
　　　　所以这盒乒乓球至少有104个。

　　例3：有一筐鸡蛋,当两个两个取、三个三个取、四个四个取、五个五个取时，筐内最后都是剩一个鸡蛋；当七个七个取出时，筐里最后一个也不剩。那么筐内原来至少有多少个鸡蛋。
　　解：先求出2,3,4,5的最小公倍数是60,然后用试验法求出60的倍数加1能被7整除的数
　　　　60+1=61
　　　　60×2+1=121
　　　　60×3+1=181
　　　　60×4+1=241
　　　　60×5+1=301
　　　　其中301能被7整除。所以筐内原来至少有301个鸡蛋。