Question

求证“根号2是无理数”

Answer 1

哈哈，我做过，正确的反证法如下：
假如根号2是有理数，那么它一定可以用一个最简的（不能再约分的）分数m/n表示
则：m^2/n^2=2
所以m^2=2*n^2
所以m是偶数
假设m=2k，那么2*n^2=4*k^2
所以n^2=2*k^2
所以说n也是偶数
既然m,n都是偶数，那么m/n就不是最简分数，与原设相矛盾
故根号2是无理数

Answer 2

√2是无理数
欧几里得《几何原本》中的证明方法：
证明: √2是无理数
假设√2不是无理数
∴√2是有理数
令 √2=p/q (p、q互质)
两边平方得：
2=(p/q)^2
即：
2=p^2/q^2
通过移项，得：
2q^2=p^2
∴p^2必为偶数
∴p必为偶数
令p=2m
则p^2=4m^2
∴2q^2=4m^2
化简得：
q^2=2m^2
∴q^2必为偶数
∴q必为偶数
综上，q和p都是偶数
∴q、p互质，且q、p为偶数
矛盾 原假设不成立
∴√2为无理数

追问

为什么要p、q互质？

追答

有理数都可以化为两个互质数的比值，例如0.6=3/5，当然也可以是6/10，但是这样的话对证明无用。。

追问

那4是有理数，它怎么化成两个互质的比值？

追答

4/1,1与任何整数都互质。。。

Answer 3

证明:
假设根号2是有理数，那么必有：
√2(表示根号2)=最简分数m/n
所以m^2/n^2=2
因此m能被2整除，
故能设m=2t
再代入得：
4t^2/n^2=2
也就是：
2t^2=n^2
所以n也能被2整除，
因此m，n存在约数2，与题目m/n是最简分数矛盾，
所以假设不成立，
原命题得证。

Answer 4

无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环. 根号2=1.414........定义法 反证法也行

追问

请用反证法证明！

追答

因为1.414.....不是有理数
所以它是无理数（实数范围内）

追问

这就是传说中的反证法？

追答

其实反证法一般在几何题中使用 谁知道出来这么坑爹的题

追问

让你看一下反证法证明！

√2是无理数
欧几里得《几何原本》中的证明方法：
证明: √2是无理数
假设√2不是无理数
∴√2是有理数
令 √2=p/q (p、q互质)
两边平方得：
2=(p/q)^2
即：
2=p^2/q^2
通过移项，得：
2q^2=p^2
∴p^2必为偶数
∴p必为偶数
令p=2m
则p^2=4m^2
∴2q^2=4m^2
化简得：
q^2=2m^2
∴q^2必为偶数
∴q必为偶数
综上，q和p都是偶数
∴q、p互质，且q、p为偶数
矛盾 原假设不成立
∴√2为无理数

现在问题是：请问为什么要p、q互质？

追答

谢谢

Answer 5

根号2除不尽的比如说根号4就是有理数根号2算出的是1.4142135623731后面还有好多为无限不循环小数

追问

请用反证法证明！