Question

设数列{an}是公差不为零的等差数列，Sn是数列{an}的前n项和，且S3的平方=9S2，S4=S

设数列{an}是公差不为零的等差数列，Sn是数列{an}的前n项和，且S3的平方=9S2，S4=S2，求数列{an}的通项公式

Answer 1

(a1 + a2 + a3)^2 = 9 (a1 + a2)
(a1 + a2 + a3 + a4) = 4(a1 + a2)

设 公差为d, 则
(a2 - d + a2 + a2 + d)^2 = 9(a2 - d + a2)
(a2 -d + a2 + a2+d + a2 + 2d) = 4(a2 - d + a2)

9a2^2 = 9 (2a2 - d)
4a2 + 2d = 4(2a2 -d)

a2^2 = 2a2 -d
2a2 = 3d

a^2 = 2a2 - 2a2 /3
a^2 = 4a2 /3
a2 = 0 或 4/3

a2 = 0 时, d = 0, 整个数列为0数列, 舍去
a2 = 4/3时, d = 8/9

a1 = a2 - d = 4/9

an = a1 + (n-1)d = 4/9 + 8(n-1)/9 = 4(2n-1)/9

------------------
附录 检验:
a1 = 4/9
a2 = 12/9
a3 = 20/9
a4 = 28/9

S2 = 16/9
S4 = 64/9
S4 = 4S2 成立

S3 = 36/9 = 4
S3^2 = 16
9S2 = 16
S3^2 = 9S2 成立