Question

如图,在△ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC于D,将△ACD沿AC折叠为△ACF,将△ABD沿AB折叠为△ABG,

延长FC和GB相交于点H。①求证，四边形AFHG为正方形。②若BD=6，CD=4，求AB的长。

Answer 1

1、∵将△ACD沿AC折叠为△ACF,将△ABD沿AB折叠为△ABG，AD⊥BC
∴∠GAB=∠BAD
∠FAC=∠CAD
∠F=∠ADC=90°，∠G=∠ADB=90°
AG=AF
∵∠BAD+∠CAD=∠BAC=45°
∴∠GAF=∠GAB+∠BAD+∠CAD+∠FAC=2(∠BAD+∠CAD)=90°
∴∠G=∠GAF=∠F=90°
∴四边形AFHG为矩形
∵AG=AF
∴四边形AFHG为正方形
2、现设AD=x，则AF=AG=GH=FH=x
∵BD=6，CD=4
∴BG=6，CF=4
∴BH=x-6，CH=x-4
在Rt△BHC中，BH²+CH²=BC²(BC=BD+CD=10)
∴(x-6)²+(x-4)²=10²
x²-10x-24=0
(x-12)(x+2)=0
解得x1=12，x2=-1（舍）
∴AD=12
∴AB²=BD²+AD²=6²+12²=180
AB=6√5
所以AD=x=6