Question

已知f（x）=|x+1|+|x-a|.（2）若不等式f（x）≥3-2a对x∈【1，2】恒成立，求a的取值范围.

求解这道题第二问。需要完整解答，谢谢。

已知f（x）=|x+1|+|x-a|.
（1）当a=1时，解不等式f（x）≤5；
（2）若不等式f（x）≥3-2a对x∈【1，2】恒成立，求a的取值范围.

Answer 1

一、当a<1时，根据题意，f(x)=x+1+x-a=2x+1-a∈[3-a,5-a]
因为f(x)>=3-2a恒成立，所以3-a>=3-2a，a>=0
所以0<=a<1
二、当a>2时，根据题意，f(x)=x+1+a-x=a+1
因为f(x)>=3-2a恒成立，所以a+1>=3-2a，a>=2/3
所以a>2
三、当1<=a<=2时，对任意1<=x<a，f(x)=x+1+a-x=a+1>=3-2a，a>=2/3
对任意a<=x<=2，f(x)=x+1+x-a=2x+1-a∈[a+1,5-a]，a+1>=3-2a，a>=2/3
所以2/3<=a<=2
综上所述，0<=a<1或a>=2/3

Answer 2

解：
（1）
当a=1，-1<x<1时，f（x）=x+1+1-x=2；
当a=1，x<-1时，f（x）=-x-1+1-x=-2x；
当a=1，x>1时，f（x）=x+1+x-1=2x。
∴f（x）<=5的解为-2.5<=x<=2.5。
在[1,2]区间，当x≥a时，f（x）=x+1+x-a=2x+1-a≥3-2a
∴0≤a≤1；
当x<a时，f（x）=x+1+a-x=1+a≥3-2a
∴a≥2/3。
所以当0≤a≤1或a≥2/3时，在[1,2]区间不等式f（x）≥3-2a恒成立。

如果你觉得我的回答比较满意，希望给个采纳鼓励我！

Answer 3

（2）
解：
根据 x的给定区间 x∈[1, 2]，分别讨论 a≤1 和 a >1两种情况
① 当 a≤1时，对于x的讨论区间 必有 x-a≥0，则
f(x) = 2x+1-a ≥3-2a ==> a ≥ 2-2x
上式对于任意x∈[1, 2]成立 ==> a≥0
因此 a的取值为 0≤ a ≤1
② 当 a>1时：
若 x<a 则 f(x) = x+1+a-x =1+a >2
若 x≥a 则 f(x)= (x+1) + (x-a) ≥ x+1>2
而3-2a <1, 因此 f（x）≥3-2a 恒成立
综合① ②， 满足条件的 a的取值范围为 a≥0；