Question

有关高数的问题

设g（x）可导，且x趋向于0时，g（x）是x的高阶无穷小，则当x趋向于0时，必有：
A、g‘（x）是无穷小量；B、∫（0到x）g（t）dt是x²的高阶无穷小；
C、x/g（x）是无穷大量；D、若G’（x）=g（x），则G（x）是x的高阶无穷小；
答案是B，请问为什么，其余答案错在哪了，能不能给举几个反例，谢谢

Answer 1

先证明B的正确性
lim(x→0) [∫(0→x) g(t)dt]/x²=lim(x→0) g(x)/(2x)=0
∴∫(0→x) g(t)dt=o(x²)

A: 取g(x)=x²sin(1/x)
则lim(x→0) g(x)/x=lim(x→0) xsin(1/x)=0 (无穷小量乘以有界量等于无穷小)
g'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)
lim(x→0) g'(x)不存在
故A错

C: 取g(x)=0
显然g(x)=o(x)
但lim(x→0) x/g(x)不存在
故C错
注意：若f(x)为无穷小，则1/ f(x)为无穷大，只有在f(x)≠0才成立

D: 取G(x)=x³+1
则G'(x)=g(x)=3x²
g(x)=o(x)
但G(x)不是无穷小
故D错