Question

已知圆C:x^2+y^2-2x-2y+1=0,直线l:y=kx,直线l与圆c相交于AB两点,点M(

0,b)满足MA垂MB

Answer 1

是这个题目吧
已知圆C：X^2+Y^2-2X-2Y+1=0,直线L:Y=kX,且L与圆C相交于A、B两点，点M（0，b），且MA⊥MB.（1）求关于b和k的二元方程；(2)求k的最小值

圆C：x^2-2x+1+y^2-2y+1-2=0，即：(x-1)^2+(y-1)^2=1，圆心为(1,1)，半斤为1。---与此题无关。

第一问：点M（0，b），且MA⊥MB，可得直线MA和直线MB的斜率之积等于-1.
设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有[x1/(y1-b)]*[x2/(y2-b)]=-1，将其带入y=kx化简可得：
(x1*x2)/[(k^2)*x1*x2-k*b*(x1+x2)+(b^2)]=-1 -----(1)
联立圆C方程和直线L方程消去y并化简整理可得：(1+k^2)x^2-2(1+k)x+1=0 ----(2)
易知x1,x2为上述方程的两个根，有韦达定理可得：x1+x2=2(1+k)/(1+k^2)，x1*x2=1/(1+k^2) --(3)
将(3)的两个方程带入(1)中化简整理可得：(1+k^2)b^2-2k(1+k)b+1+k^2=0 ----(4)
(4)式即为第一问的结果。

第二问：通过方程(2)式对判别式大于0得：k>0。
因为b存在，所以以b为变量的方程(4)有根，这个方程的判别式会大于等于0，
整理得：(k^2)*(1+k)^2-(1+k^2)^2>=0，化简并分解因式：(k-1)(2k^2+k+1)>=0
这样比较简单了，第二项恒为正(如有疑问欢迎追问)，所以k>=1。
综上可得k的取值范围是k>=1，所以最小值为k=1.

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