Question

在平面直角坐标系中，直线y=1/2x+1与抛物线y=ax²+bx-3交于A,B，A在x轴上，B的横

在平面直角坐标系中，直线y=1/2x+1与抛物线y=ax²+bx-3交于A,B，A在x轴上，B的横坐标为3，P是直线AB下方的抛物线上的一动点，不与A,B重合，过P做x轴的垂线交直线AB于C，做PD垂直于AB于D，设P的横坐标为m,连接PB，线段PC把三角形PDB分成两个三角形，是否存在合适的m使得这两个三角形的面积比为9:10？请写出具体过程

Answer 1

解：（1）由
1
2
x+1=0，得x=-2，∴A（-2，0）．
由
1
2
x+1=3，得x=4，∴B（4，3）．
∵y=ax2+bx-3经过A、B两点，
∴

(−2)2•a−2b−3＝0
42•a+4b−3＝3

∴

a＝
1
2

b＝−
1
2

，
则抛物线的解析式为：y=
1
2
x2-
1
2
x-3，
设直线AB与y轴交于点E，则E（0，1）．
∵PC∥y轴，
∴∠ACP=∠AEO．
∴sin∠ACP=sin∠AEO=
OA
AE
=
2

5

=
2
5

5
．

（2）①由（1）知，抛物线的解析式为y=
1
2
x2-
1
2
x-3．则点P（m，
1
2
m2-
1
2
m-3）．
已知直线AB：y=
1
2
x+1，则点C（m，
1
2
m+1）．
∴PC=
1
2
m+1-（
1
2
m2-
1
2
m-3）=-
1
2
m2+m+4=-
1
2
（m-1）2+
9
2

Rt△PCD中，PD=PC•sin∠ACP=[-
1
2
（m-1）2+
9
2
]•
2
5

5
=-

5

5
（m-1）2+
9
5

5

∴PD长的最大值为：
9
5

5
．

②如图，分别过点D、B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分别为F、G．
∵sin∠ACP=
2
5

5
，
∴cos∠ACP=
1

5

，
又∵∠FDP=∠ACP
∴cos∠FDP=
DF
DP
=
1

5

，
在Rt△PDF中，DF=
1

5

PD=-
1
5
（m2-2m-8）．
又∵BG=4-m，
∴
S△PCD
S△PBC
=
DF
BG
=
−
1
5
(m2−2m−8)

4−m
=
m+2
5
．
当
S△PCD
S△PBC
=
m+2
5
=
9
10
时，解得m=
5
2
；
当
S△PCD
S△PBC
=
m+2
5
=
10
9
时，解得m=
32
9
．

Answer 2

Answer 3

思路点拨
1．第（1）题由于CP//y轴，把∠ACP转化为它的同位角。
2．第（2）题中，PD＝PCsin∠ACP，第（1）题已经做好了铺垫。
3．△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比。
4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种情况讨论。

Answer 4

在表达△PCD、△PBC的面积时，若都以PC为底，那么它们的面积比等于PC边上的高的比．分别过B、D作PC的垂线，首先求出这两条垂线段的表达式，然后根据题干给出的面积比例关系求出m的值．

Answer 5