Question

定积分对区间的可加性

∫(0,π)√[sinx-(sinx)^3]dx=∫(0,π)√[sinx(cosx)^2]=∫(0,π/2)cosx√sinxdx-∫(π/2,π)cosx√sinxdx=∫(0,π/2)√sinxdsinx-∫(π/2,π)√sinxdsinx=(2/3)(sinx)^(3/2)-(2/3)(sinx)^(3/2)=(2/3)(sinπ/2)^(3/2)-(2/3)(sin0)^(3/2)-(2/3)(sinπ)^(3/2)+(2/3)(sinπ/2)^(3/2)=2/3-0-0+2/3=4/3

这道题为什么拆成两个区间后当中的符号是减号，不应该是加号吗？

Answer 1

因为 根号(cosx)^2 开出来本来应该是正值，所以拆开后（0，π/2）之间cosx√sinxdx的cosx是正的，而（π/2,π）上cosx是负值，开根号后要加 - 号