Question

已知函数fx=x(e^2-1)-ax^2

若fx在x=-1时有极值，求a及函数fx的单调递减区间
当x>=0时fx>=0求a的取值范围

Answer 1

答：
f(x)=x(e^x-1)-ax^2吧？e^2是一个定值.....

请确认题目后追问，谢谢

追问

是fx=x(e^-1）-ax^2

追答

答：
1）
f(x)=x/e-ax^2
求导：f'(x)=1/e-2ax
x=-1时f(x)有极值，则f'(-1)=1/e-2a*(-1)=0
解得：a=-1/(2e)
x=0时，f(x)=x/e-ax^2>=0成立
所以：(ax-1/e)x=0
所以：a<=0

追问

抱歉打错了 是x(e^x-1)-ax^2

追答

答：
1）
f(x)=x(e^x-1)-ax^2
求导：f'(x)=e^x-1+xe^x-2ax
x=-1时f(x)有极值，则f'(-1)=1/e-1-1/e+2a=0
解得：a=1/2
f'(x)=(x+1)e^x-(x+1)
f'(x)=(x+1)(e^x-1)
f'(x)=0的解为x=-1和x=0
x0时，f'(x)>0，f(x)是单调递增函数，
-1=0时，f(x)=x(e^x-1)-ax^2>=0成立
所以：ax^20时：a0
所以：g(x)是单调递增函数，g(x)>g(0)=0-1+1=0
所以：h'(x)=g(x) /x^2>0
所以：h(x)是单调递增函数
所以：
h(x)>h(0)
=lim(x→0+) (e^x-1)/x
=lim(x→0+) e^x
=1
所以：a<=1<h(x)=(e^x-1)/x
综上所述，a<=1