Question

设函数f(x)=根号(1-x²)+根号(1+x)+根号(1-x) 1.设t=根号(1+x)+根号

(1-x)，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数h(t)
2.求函数f(x)的最值

Answer 1

（1）t=√(1+x)+√(1-x)
t²=1+x+1-x+2√[(1+x)(1-x)]=2+2√[(1+x)(1-x)]
显然t²的范围是(2,4)，t的范围就是[√2,2]
所以:√(1-x²)=√[(1+x)(1-x)]=(t²-2)/2(因为此处定义域是符合要求的，所以可以拆分)
f(x)=h(t)=a(t²-2)/2+t (√2≤t≤2)
（2）首先对于任意实数b,c,有2bc≤b^2+c^2(当且仅当b=c时，等式成立)
则b^2+2bc+c^2≤2(b^2+c^2)
(b+c)^2≤2(b^2+c^2)
若b,c非负 ，则 b+c≤[2(b^2+c^2)]^(1/2) (当且仅当b=c时，等式成立)…………（*）

于是由（*）得
根号(1+x)+根号(1-x)≤{2[(根号(1+x))^2+(根号(1-x))^2]}^(1/2)
根号(1+x)+根号(1-x)≤{2[(1+x)+(1-x)]}^(1/2)
即 根号(1+x)+根号(1-x)≤2 (当且仅当根号(1+x)=根号(1-x)时，即x=0时等式成立)

同时 a根号(1-x^2)≤a (当且仅当x=0时等式成立)

综上所述 f(x)=a根号(1-x^2)+根号(1+x)+根号(1-x)≤a+2 (当且仅当x=0时等式成立)
于是 函数f(x)的最大值为f(0)=a+2
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