Question

如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB‖DC，AB⊥AD，AD=

如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB‖DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1中点。(1)求二面角B1-CE-C1的正弦值；(2)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成的角的正弦值为√6/2，求AM的长。

Answer 1

(1)证明：因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1，B1C1平面A1B1C1D1，
所以CC1⊥B1C1.

经计算可得B1E＝√5，B1C1＝√2，EC1＝√3，
从而B1E²＝B1C1²+EC²，
所以在△B1EC1中，B1C1⊥C1E，
又CC1，C1E平面CC1E，CC1∩C1E＝C1，
所以B1C1⊥平面CC1E，
又CE平面CC1E，故B1C1⊥CE.
(2)过B1作B1G⊥CE于点G，连接C1G.
由(1)，B1C1⊥CE，故CE⊥平面B1C1G，得CE⊥C1G，
所以∠B1GC1为二面角B1－CE－C1的平面角．
在△CC1E中，由CE＝C1E＝√3，CC1＝2，可得C1G＝2√6/3.
在Rt△B1C1G中，B1G＝√42/3，
所以sin∠B1GC1＝√21/7，
即二面角B1－CE－C1的正弦值为√21/7.
(3)连接D1E，过点M作MH⊥ED1于点H，可得MH⊥平面ADD1A1，连接AH，AM，则∠MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角．
设AM＝x，从而在Rt△AHM中，有MH＝√2X/6，AH＝√34X/6.
在Rt△C1D1E中，C1D1＝1，ED1＝√2，得EH＝1/3X.
在△AEH中，∠AEH＝135°，AE＝1，
由AH²＝AE²＋EH²－2AE·EHcos 135°，得，
整理得5x2－2√2X－6＝0，解得x＝√2.
所以线段AM的长为√2.

Answer 2

1)证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)．
易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1，－1)，于是·＝0，
所以B1C1⊥CE.
(2)＝(1，－2，－1)．
设平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)，
则即
消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为m＝(－3，－2,1)．
由(1)，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，
故＝(1,0，－1)为平面CEC1的一个法向量．
于是cos〈m，〉＝，
从而sin〈m，〉＝.
所以二面角B1－CE－C1的正弦值为.
(3)＝(0,1,0)，＝(1,1,1)．
设＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有＝＋＝(λ，λ＋1，λ)．
可取＝(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量．
设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则
sin θ＝|cos〈，〉|＝
＝.
于是，解得，
所以AM＝.

Answer 3

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