Question

∫∫e^z/√(x^2+y^2)dxdy,其中Σ是z=√(x^2+y^2）在1<=z<=2的那一部分下侧.

高斯公式解法
∫∫∫e^z(z-1)/z^2dv
=pi∫e^z(z-1)dz

为什么1/√(x^2+y^2)不能直接用1/z替换。

Answer 1

换元法
x=rcosa x^2+y^2≤1 所以0<=r<=1 0<=a<=2π
y=rcosa
∫ ∫D e^(x^2+y^2) dxdy
∫[0,2π] ∫[0,1] e^(r^2) rdrda
=2π*1/2∫[0,1] e^(r^2) d(r^2)
=π*e^(r^2) [0,1]
= π(e-1)
请采纳。

Answer 2

换元法%D%Ax=rcosa x^2+y^2≤1 所以0<=r<=1 0<=a<=2π %D%Ay=rcosa %D%A∫ ∫D e^(x^2+y^2) dxdy%D%A∫[0,2π] ∫[0,1] e^(r^2) rdrda%D%A=2π*1/2∫[0,1] e^(r^2) d(r^2)%D%A=π*e^(r^2) [0,1]%D%A= π(e-1)