Question

数学题第十八题怎么做，谢谢

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Answer 1

x^2y/z+y^2z/x+z^2x/y>=x^2+y^2+z^2
(x^3y^2+y^3z^2+z^3x^2)/xyz>=x^2+y^2+z^2
x^3y^2+y^3z^2+z^3x^2>=yzx^3+xzy^3+xyz^3
x^3y^2-yzx^3+y^3z^2-xzy^3+z^3x^2-xyz^3
=x^3y(y-z)+zy^3(z-x)+xz^3(x-y).>=0
所以x^2y/z+y^2z/x+z^2x/y>=x^2+y^2+z^2

追问

倒数第二步的z-x有可能是负数吧

Answer 2

先证明与本题相关的一个不等式
(x^2)y/z+(y^2)z/x+(z^2)x/y≥x(y^2)/z+y(z^2)/x+z(x^2)/y
证明 (x^2)y/z+(y^2)z/x+(z^2)x/y-[x(y^2)/z+y(z^2)/x+z(x^2)/y]
=[(x^2)y/z-x(y^2)/z]+[(y^2)z/x-y(z^2)/x]+[(z^2)x/y-z(x^2)/y]
=(xy/z)(x-y) + (yz/x)(y-z) + (zx/y)(z-x)
=(xy/z)(x-y) + (yz/x)(y-z) - (zx/y)(x-y) - (zx/y)(y-z)
=(xy/z - zx/y)(x-y) + (yz/x - zx/y)(y-z)
=(y-z)(x-y)x(y+z)/yz - (x-y)(y-z)z(x+y)/xy
=(x-y)(y-z)[(x/y+x/z) - (z/x+z/y)]
=(x-y)(y-z)[(x-z)/y+(x^2-z^2)/xz]
=(x-y)(x-z)(y-z)(1/x+1/y+1/z)≥0
∴(x^2)y/z+(y^2)z/x+(z^2)x/y≥x(y^2)/z+y(z^2)/x+z(x^2)/y
∴2[(x^2)y/z+(y^2)z/x+(z^2)x/y]≥[(x^2)y/z+(y^2)z/x+(z^2)x/y]+[(y^2)x/z+(z^2)y/x+(x^2)z/y]
=(x^2)(y/z+z/y)+(y^2)(z/x+x/z)+(z^2)(x/y+y/x)
≥2(x^2+y^2+z^2)
所以原命题成立

Answer 3

追问

倒数第二步有两个大于一个小于，那最后一步整不出来吧，我数学不太好，告诉我一下怎么证吧谢谢

Answer 4

去分母后就好比较啦

Answer 5

两边同时XYZ

追答

两边同时乘于xyz