Question

已知函数f(x)=ax^3-2ax+3a-4的区间在(-1,1)上有唯一的零点 (1)求实数a的

已知函数f(x)=ax^3-2ax+3a-4的区间在(-1,1)上有唯一的零点
(1)求实数a的取值范围
(2)若a=32/17,用二分法求方程f(x)=0在区间(-1,1)上的根
求过程

Answer 1

已知函数f(x)=ax^3-2ax+3a-4的区间在(-1,1)上有唯一的零点
则：f(-1)f(1)<0 (-a+2a+3a-4)(a-2a+3a-4)<0
(a-1)(a-2)<0 1<a<2
f'(x)=3a^2x^2-2a
由于a>0：a(3x^2-2)＝0 有两个极值点，不能同时在（－1，1)内，否则有两个以上零点。
由于两个极值点x=正负根6/2中，都不在(-1,1)内，所以，只需f(-1)f(1)<0即可。
即：aE(1,2)

（2）a=32/17 E(1,2)
所以：f(-1)(1)<0 f(-1)=4(a-1)=4(32/17-1)>0 f(1)<0
(-1+1)/2=0
f(0)=0+3a-4=3*32/17-4=1.65>0
f(1)f(0)<0
(1+0)/2=0.5
f(0.5)=0
所以f(x)在区间(-1,1)的根为x=0.5

追问

a的取值不用讨论吗

追答

这两道题是联系在一起的，已讨论，前面已经证明在（－1，1）之间，只有唯一解，而
a=32/17在(1,2)之间，所以在(-1,1)之间，当a=32/17时，只有一解。

Answer 2

已知函数f(x)=ax^3-2ax+3a-4区间(-1,1)唯零点
则:f(-1)f(1)<0
(-a+2a+3a-4)(a-2a+3a-4)<0
(a-1)(a-2)<0
1<a<2
f'(x)=3a^2x^2-2a
由于a>0:a(3x^2-2)=0
两极值点能同(-11)内否则两零点
由于两极值点x=负根6/2都(-1,1)内所需f(-1)f(1)<0即
即:aE(1,2)
(2)a=32/17
E(1,2)
所:f(-1)(1)<0
f(-1)=4(a-1)=4(32/17-1)>0
f(1)<0
(-1+1)/2=0
f(0)=0+3a-4=3*32/17-4=1.65>0
f(1)f(0)<0
(1+0)/2=0.5
f(0.5)=0
所f(x)区间(-1,1)根x=0.5