Question

线性代数，求解答过程

Answer 1

系数矩阵行列式 |A| =
|2 λ -1|
|λ -1 1|
|4 5 -5|
|A| =
|2 λ -1|
|λ+2 λ-1 0|
|-6 5-5λ 0|
|A| =
|λ+2 λ-1|
|6 5λ-5|
|A| = 5λ^2-λ-4=(λ-1)(5λ+4).
(1) 当 λ ≠1 且 λ ≠-4/5 时， 方程组有唯一解。

当 λ =-4/5 时，增广矩阵 (A,b)=
[2 -4/5 -1 1]
[-4/5 -1 1 2]
[4 5 -5 -1]
初等变换为
[10 -4 -5 5]
[-4 -5 5 10]
[4 5 -5 -1]
初等变换为
[4 5 -5 -1]
[0 17/2 -35/2 15/2]
[0 0 0 9]
r(A)=2, r(A,b)=3, 故方程组无解。
当 λ =1 时，增广矩阵 (A,b)=
[2 1 -1 1]
[1 -1 1 2]
[4 5 -5 -1]
初等变换为
[1 -1 1 2]
[0 3 -3 -3]
[0 9 -9 -9]
初等变换为
[1 -1 1 2]
[0 1 -1 -1]
[0 0 0 0]
r(A)=r(A,b)=2, 故方程组有无穷多解。
（2）当 λ =1 时，同解方程以已化为
x1-x2=2-x3
x2=-1+x3
取 x3=0， 得特解 (1, -1, 0)^T
导出组即对应的齐次方程是
x1-x2=-x3
x2=x3
取 x3=1， 得特基础解系 (0, 1, 1)^T
方程组的通解是 x=(1, -1, 0)^T+k(0, 1, 1)^T,
其中 k 为任意常数。