Question

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作EF‖BC交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F。
求证：EF为⊙O的切线
若sin∠ABC=4/5， CF=1 求⊙O 的半径及EF的长

Answer 1

楼主的图画错了，按题意，F应在AC的延长线上。
证：因为AB是直径，C在圆O上，所以AC垂直于BC.因为AD是角BAC的平分线，所以∠BAD=∠DAF，连接AD，因为OD=OA，所以∠ODA=∠OAD,所以∠ODA=∠DAF,推出OD‖AC(AF),又AC垂直于BC且BC‖EF.故OD⊥EF,又D在圆O上，所以EF是圆的切线
sin∠ABC=4/5则cos∠CAD= cos∠BAD=3/√10
设BD=x AD=3x AC=4√10x/5
在直角三角形AFD中
cos∠CAD=AF/AD=(4√10x/5
+1)/3x=3/√10
解得x=√10
AB=√10x=10 半径为5
EF=AFtan∠FAE=3/4*9=27/4

Answer 2

证明：假设EF不是⊙O的切线，则其必是⊙O的交线，则其与⊙O除了点D外必有另一交点，设此点为G
∠AGB=90 ∠AGE=∠FAG+∠F=∠ACB+∠FAG=90+∠FAG（CB//EF则∠F=∠ACB=90）
∠AGE=∠AGB+∠BGE=90+∠BGE
则∠BGE=∠FAG
而∠BGE=∠BAD(同弧所对角相等)
∠BAD=∠FAD(角平分线)
则∠BGE=∠FAD
很显然∠FAG<∠FAD
则∠FAD<∠BGE
矛盾，假设不成立
则EF为⊙O的切线
sin∠ABC=4/5则cos∠CAD= cos∠BAD=3/√10(根号10)半角公式
设BD=t AD=3t AC=4√10t/5
在直角三角形AFD中
cos∠CAD=AF/AD=(4√10t/5
+1)/3t=3/√10
解得t=√10
AB=√10t=10 半径为5
EF=AFtan∠FAE=3/4*9=27/4

Answer 3

已解决问题收藏 转载到QQ空间 3．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的的切线相交于点D，和⊙O相交于E，如果AC平分∠DAB．
20[ 标签：平分 dab,切线,dab ] 问题补充 2010-01-23 20:42
（1）试证明AD⊥CD：

（2）若AB=10，AD=8，求AC的长．
圣洁★生※活 回答:3 人气:3 解决时间:2010-01-24 17:00
满意答案连结OC

因为AC平分∠DAB．

所以∠DAC=∠CAB

因为CD是圆的切线C为切点

所以OC垂直CD

半径OC=OA

在三角形AOC中

∠OAC=∠OCA

所以∠OCA=∠CAD

所以AD‖OC

所以AD垂直CD

连结BC则∠BCA=90

所以三角形ACB相似三角形ADC

所以AD/AC=AC/AB

AC=根号AD*AB=根号80=4根号5
三角:∠DAC=∠CAB cos∠DAC=cos∠DAC

在直角三角形中DAC，CAB

cos∠DAC=AD/AC

cos∠CAB=AC/AB

所以AD/AC=AC/AB

AC=根号AD*AB=根号80=4根号5

Answer 4

因为AB是直径，C在圆O上，所以AC垂直于BC.因为AD是角BAC的平分线，所以∠BAD=∠DAF，连接AD，因为OD=OA，所以∠ODA=∠OAD,所以∠ODA=∠DAF,推出OD‖AC(AF),又AC垂直于BC且BC‖EF.故OD⊥EF,又D在圆O上，所以EF是圆的切线
sin∠ABC=4/5则cos∠CAD= cos∠BAD=3/√10
设BD=x AD=3x AC=4√10x/5
在直角三角形AFD中
cos∠CAD=AF/AD=(4√10x/5
+1)/3x=3/√10
解得x=√10
AB=√10x=10 半径为5
EF=AFtan∠FAE=3/4*9=27/4