Question

计算∫∫2zdydz-2ydzdx+(5z-z^2)dxdy，积分曲面为x=0和z=e^y（1<=y<=2）绕z轴旋转一周所围成的曲面的外侧

Answer 1

旋转后的曲面是z=e^(√x^2+y^2), e<z<e^2
或者也可以写作lnz=√x^2+y^2, e<z<e^2

补上z=e^2时，√x^2+y^2=2的上侧∑1。和z=e时，√x^2+y^2=1的下侧∑2。
形成一个闭合曲面∑就能用高斯定理了。

原积分=∫∫(∑-∑1-∑2) 2zdydz-2ydzdx+(5z-z^2)dxdy
=∫∫∫(-2+5-2z)dV-(5e^2-e^4)4π+(5e-e^2)π
=[∫(e->e^2) (3-2z)dz] [∫(0->2π)dθ] ∫(0->lnz)rdr +(4e^4-21e^2+5e)π
=(-5e^4/2+13e^2/2-3e)π+(4e^4-21e^2+5e)π
=(π/2)(e^4-29e^2+4e)