Question

数学向量题目！！

以下小写的字母均为向量！！！大家会多少就写多少，思路也可以，我晚上再来看~！！ 先谢谢各位了~！！

1，已知a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，则a*b=？？？

2，已知a+b+c=0，|a|=3，|b|=5，|c|=7，则a与b的夹角=？？？

3，在平面四边形ABCD中，向量AB=a，向量BC=b，向量CD=c，向量DA=d，且a*b=b*c=c*d=d*a，试问四边形ABCD的形状如何？

Answer 1

1,i,j是互相垂直的单位向量吧?
(a+b)^2=(2i-8j)^2=4+64=68
(a-b)^2=64+256=320
所以(a+b)^2-(a-b)^2=4ab=68-320=-252
所以ab=-63
2,|a|=3，|b|=5，|c|=7
所以a^2=9,b^2=25,c^2=49.
a+b+c=0即c=-(a+b)
所以c^2=a^2+b^2+2ab
所以2ab=c^2-a^2-b^2=15 ,
a与b的夹角的余弦=(ab)的数量积除以模之积=1/2,
所以a与b的夹角为60度
3,在平面四边形ABCD中,a+c=0,b+d=0,并且a,c的模相等,b,d的模相等,a+b=-(c+d)
所以(a+b)^2=(c+d)^2
所以a^2=b^2
所以四边形ABCD是菱形

Answer 2

a+b=2i-8j
a-b=8i+16j
2a = 10i + 8j; 即:a = 5i + 4j
2b = -6i - 24j; 即:b = -3i - 12j
所以就可以算a*b

2 -c=a+b,c^2=(a+b)^2
c^2=a^2+b^2+2ab,ab=7.5
cosθ=ab/(|a|*|b|)=1/2
θ=60度

3 由向量（AB+BC+CD+DA）=0
得a+b+c+d=0

所以a+b=-(c+d)① a+d=-(b+c)②，两边同时平方
因为a*b=b*c=c*d=d*a
由①得a^2+b^2=c^2+d^2 由②a^2+d^2=b^2+c^2
由①②得
a=c,b=d得AB=DC,BC=AD所以ABCD是平行四边形

因为-向量AB=向量CD,所以-a=c
ab=bc推出ab=a(-b),ab=0,所以a⊥b
有向量AB垂直向量BC，
所以ABCD是矩形．

Answer 3

1,两式平方再相减
2,为一三角形,边长为其绝对值.用余弦定理求夹角.

Answer 4

a是单位向量，则模为1
向量b乘以（a-b）结果为零，设向量a与b之间夹角为A，则有|a|*|b|*cosA-b^2=0,推出|b||=|a|*cosA
0<=A<=pi,故有
|cosA|<=1,|b|<=1
结果是：|b|小于或等于1

Answer 5

解析：
由题意可知：|a|=1
设向量a与b的夹角为α
向量b*向量a=|b|*|a|*cosα=|b|*cosα
因为向量b*(向量a-向量b)=0，所以：
向量b*向量a
-
|b|²=0
即|b|*cosα=|b|²
则：|b|=cosα
因为cosα≤1，所以：0≤|b|≤1