Question

高等数学的问题，求详细步骤。谢谢

Answer 1

解法一：令y'=p，则y''=pdp/dy
代入原方程得pdp/dy+w²y=0
==>pdp=-w²ydy
==>p²=A²-w²y² (A是积分常数)
==>p=±√(A²-w²y²)
==>y'=±√(A²-w²y²)
==>dy/√(A²-w²y²)=±dx
==>arcsin(wy/A)=B±wx (B是积分常数)
==>wy/A=sin(B±wx)
∴y=(A/w)sin(B±wx)
=(A/w)[sinBcos(wx)±cosBsin(wx)] (应用正弦和差角公式)
=(AsinB/w)cos(wx)+(±AcosB/w)sin(wx)
令C1=AsinB/w，C2=±AcosB/w
∵A和B是任意积分常数
∴C1,C2也是任意积分常数
故原方程的通解是y=C1cos(wx)+C2sin(wx) (C1,C2是积分常数)。
解法二；(直接应用定理求解)
∵y‘’+w²y=0的特征方程是r²+w²=0，则r=±wi (复数根,i是虚数单位)
∴根据常微分齐次方程定理知，
原方程的通解是y=C1cos(wx)+C2sin(wx) (C1,C2是积分常数)。

追问

==>arcsin(wy/A)=B±wx 中wx 怎么来的？

追答

y=arcsinx的导数=1/根号(1-x^2)这是公式