Question

若关于x的方程 根号下(2X+1)=x+m有两个不同实根，求实数m 的取值范围

请用判别式的方法解答，拒绝数形结合法。

Answer 1

(2x+1)=(x+m )^2 整理得到
x^2+2(m-1)x+m^2-1=0
有2个不同实根可以知道b^2-4ca>0
即4(m-1)^2-4(m^2-1)>0
2-2m>0 m<1
并且 题的定义域可以知道 2x+1>=0 x>=-1/2 -x<=1/2
x+m>=0 m>=-x
要保证函数有意义 m一定要大于等于-x最大值 即1/2
综上可以知道 1/2<m<1

追问

您好，我的疑问就在这里，由于您平方的时候没有考虑定义域和m的范围，而是判别式大于0，这样求得的m值可靠吗？因为并非在R上有两个不等实根，您后来在去判断m，这样做的原理是什么？

追答

不可靠 x一定要在定义域内 这样隐含着2x+1>=0 x>=-1/2 -x=0 m>=-x
我 要是告诉你我看人家的答案后发现不对在去想方法补救 你会怎么想
其实是这样的 这是做题习惯的问题 在做题的时候 养成好习惯还是好的比如这个题 我们完全可以这样 先把定义域这个求出来 就是我后做的这一步分 这样我们后面就不必再求 综合就能得到答案了
同时这也是最好做的一部分 考试的话 这是得分点 可以先写下 很容易得到分

追问

您求得就是在定义域上有两个不等实根，即大于等于-0.5上，能直接令判别式大于0吗？仿佛还需要其他条件吧

追答

=0是2个相等的实根 所以不能为0

Answer 2

解：方程两边平方得：
X^2+2mX+m^2=2X+1
X^2+2(m-1)X+m^2-1=0
Δ=4(m-1)^2-4(m^2-1)=-8m+8>0，
得m<1，
另一方面，
2X+1>≥0，X≥-1/2，
∵左边为非负数，
∴X+m≥0，
∴m≥1/2。

∴1/2≤m<1。

追问

您好，我的疑问就在这里，由于您平方的时候没有考虑定义域和m的范围，而是判别式大于0，这样求得的m值可靠吗？因为并非在R上有两个不等实根，您后来在去判断m，这样做的原理是什么？

追答

其实两个步骤位置完全可以对换的。
1、Δ>0，保证两根不相等。
2、只要右边大于或等于0，
保证平方后是一个一元二次方程。

追问

如果对调之后，您求得就是在定义域上有两个不等实根，即大于等于-0.5上，能直接令判别式大于0吗？仿佛还需要其他条件吧

追答

确实必须考虑。
∵(X1+1/2)*(X2+1/2)=(m-1/2)^2≥0，
X1+X2=-2(m-1)>-1，m<3/2。
虽然结论 依然是1/2≤m<1，
但意义不一样。

追问

我觉得您说的有点道理，能把您的解答过程梳理一遍，完整发一遍吗？

追答

解：方程两边平方得：
X^2+2mX+m^2=2X+1
X^2+2(m-1)X+m^2-1=0
Δ=4(m-1)^2-4(m^2-1)=-8m+8>0，
得m≥0，X≥-1/2，
∵左边为非负数，
∴X+m≥0，
∴m≥1/2。
再一方面：
∵(X1+1/2)*(X2+1/2)=(m-1/2)^2≥0，
X1+X2=-2(m-1)>-1，m<3/2。

综上所述：1/2≤m<1。

Answer 3

首先，这是求方程有两个不同的实根的题，所用到的定理是韦达定理。
解题步骤是：
根号下的（2x＋1）＝x＋m
则，m必须是大于等于0的，
根据韦达定理，b＾2－2ac＞0时，该方程有连个不同的实根
所以，开根号得到：2x＋1＝（x＋m）＾2，
化简得到，x＾2＋（2m－2）＋（m＾2－1）
根据韦达定理，（2m－2）＾2－4（m＾2－1）＞0
所以化简得到：－8m＋8＞0，即：m＜1
综上所述，当0＜（且＝）m＜1时，原方程有两个不同实根
望采纳

Answer 4

这样吧，由于根号(2X+1)=x+m，所以2X+1≥0，X+M≥0,
两边同时平方得(2X+1)=（x+m）²化简得x²+2（m-1）x+m²-1=0
利用根的判别式△=[2(m-1）]²-4（m²-1）＞0
解得m＜1，然后在判断X≥-1/2，X≥-m
你要觉得之前没考虑定义域和m的范围，可以用公式把根解出来，只要让较小的那个根满足这个条件就可以了，看上去很复杂实际可以消掉，最终结果是和楼下一样的

Answer 5

使用作图法解决！
y1=√(2X+1)
y2=x+m

直线和曲线有交点，则将直线y2=x+m慢慢移动
相切时，只有一个交点，此时联立
y1=√(2X+1)
y2=x+m
(x+m)^2=2x+1
x^2+2(m-1)x+m^2-1=0
只有一个交点，
则△=4(m-1)^2-4(m^2-1)=0
m=1

然后继续向右移动，有两个交点，当
有一个交点在曲线的最最左端时，即x=-1/2时，再往有只有一个交点
此时，
y1=√(2X+1)
y2=x+m
则x1=-1/2，y=0
则m=1/2
所以
1/2<m<1

追问

提问上明确说了拒绝数形结合法。

追答

两边同时平方使得数的范围扩大，出现增根。
这题如果用代数方程的根去分析，将会特别复杂，要考虑的情况比较多，分类麻烦。
按理说，应该用数形结合来做

解：√(2x+1)=x+m
两边平方，得
2x+1=x²+m²+2mx
x²-2x+2mx+m²-1=0
x²-(2-2m)x+m²-1=0
x²+(2m-2)x+m²-1=0
∵关于x的方程根号2x+1=x+m有两个不同的实数根
∴△>0
∴△=(2m-2)²-4(m²-1)>0
∴4m²+4-8m-4m²+4>0
∴4-8m+4>0
∴8>8m
∴8m2 ，
而实际上，该不等式的解集是 -2<=x<-1 。

范围扩大的原因是：原来没有 -2=2 的式子，结果平方后满足了。

追问

您好，我的疑问就在这里，由于您平方的时候没有考虑定义域和m的范围，而是判别式大于0，这样求得的m值可靠吗？因为并非在R上有两个不等实根，您后来在去判断m，这样做的原理是什么？