Question

根号下1+ x^2的积分

Answer 1

可用分部积分法：

∫√(1+x²)dx

＝x√(1+x²)-∫[x²/√(1+x²)]

＝x√(1+x²)-∫[(1+x²-1)/√(1+x²)]dx

＝x√(1+x²)-∫√(1+x²)dx+∫[1/√(1+x²)]

移项得：

∫√(1+x²)dx

＝(x/2)√(1+x²)+(1/2)∫[1/√(1+x²)]dx

＝(x/2)√(1+x²)+(1/2)ln|x+√(1+x²)|+C。

书写规范

先在格子中间画向右上角的短斜线，然后笔画不断画右下中斜线，同样笔画不断画右上长斜线再在格子接近上方的地方根据自己的需要画一条长度适中的横线，不够再补足。（这里只重点介绍笔顺和写法，可以根据印刷体参考本条模仿写即可，不硬性要求）。

被开方的数或代数式写在符号左方v形部分的右边和符号上方一横部分的下方共同包围的区域中，而且不能出界，若被开方的数或代数式过长，则上方一横必须延长确保覆盖下方的被开方数或代数式。

Answer 2

既要换元，又要分部，还涉循环积分。初学者有难度。

Answer 3

可用分步积分法：
∫√(1+x²)dx
＝x√(1+x²)-∫[x²/√(1+x²)]
＝x√(1+x²)-∫[(1+x²-1)/√(1+x²)]dx
＝x√(1+x²)-∫√(1+x²)dx+∫[1/√(1+x²)]
移项得：
∫√(1+x²)dx
＝(x/2)√(1+x²)+(1/2)∫[1/√(1+x²)]dx
＝(x/2)√(1+x²)+(1/2)ln|x+√(1+x²)|+C。

Answer 4

利用第二积分换元法，令x=tanu，则

∫√(1+x²)dx

=∫sec³udu=∫secudtanu

=secutanu-∫tanudsecu

=secutanu-∫tan²usecudu

=secutanu-∫sec³udu+∫secudu

=secutanu+ln|zhisecu+tanu|-∫sec³udu

所以∫sec³udu=1/2(secutanu+ln|secu+tanu|)+C

从而∫√(1+x²)dx=1/2(x√(1+x²)+ln(x+√(1+x²)))+C

扩展资料

不定积分的积分公式主要有如下几类：含ax+b的积分、含√（a+bx）的积分、含有x^2±α^2的积分、含有ax^2+b（a>0）的积分、含有√（a²+x^2） （a>0）的积分、含有√（a^2-x^2） （a>0）的积分、含有√（|a|x^2+bx+c） （a≠0）的积分、含有三角函数的积分、含有反三角函数的积分、含有指数函数的积分、含有对数函数的积分、含有双曲函数的积分。