数学,第17题,求解,谢谢
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(1)
an+1=2(a(n-1)+1)
即
(an+1)/(a(n-1)+1) =2
所以
{an +1}是等比数列,它的公比=2
首项为a1+1=1+1=2
所以
an +1= 2×2^(n-1)
=2^n
从而
an=2^n -1
(2) bn=log(2, an+1)
=log (2, 2^n)
=n
cn=an·bn
=n (2^n -1)
=n· 2^n -n
c1+c2+....+cn
=1×2+2×2^2 +3×2^3 +.....+n×2^n -(1+2+....+n)
令
s=1×2+2×2^2 +3×2^3 +.....+n×2^n
2s=1×2^2+2×2^3 +3×2^4 +.....+(n-1)×2^n+n×2^(n+1)
相减,得
-s=2+2^2+...+2^n -n×2^(n+1)
=2×(1-2^n)/(1-2) -n×2^(n+1)
=2×(2^n-1)-n×2^(n+1)
=2^(n+1)-n×2^(n+1) -2
s=(n-1)2^(n+1)+2
所以
Tn=(n-1)2^(n+1)+2 -n(n+1)/2
an+1=2(a(n-1)+1)
即
(an+1)/(a(n-1)+1) =2
所以
{an +1}是等比数列,它的公比=2
首项为a1+1=1+1=2
所以
an +1= 2×2^(n-1)
=2^n
从而
an=2^n -1
(2) bn=log(2, an+1)
=log (2, 2^n)
=n
cn=an·bn
=n (2^n -1)
=n· 2^n -n
c1+c2+....+cn
=1×2+2×2^2 +3×2^3 +.....+n×2^n -(1+2+....+n)
令
s=1×2+2×2^2 +3×2^3 +.....+n×2^n
2s=1×2^2+2×2^3 +3×2^4 +.....+(n-1)×2^n+n×2^(n+1)
相减,得
-s=2+2^2+...+2^n -n×2^(n+1)
=2×(1-2^n)/(1-2) -n×2^(n+1)
=2×(2^n-1)-n×2^(n+1)
=2^(n+1)-n×2^(n+1) -2
s=(n-1)2^(n+1)+2
所以
Tn=(n-1)2^(n+1)+2 -n(n+1)/2
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2015-01-27 · 知道合伙人教育行家
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2015-01-27
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(1),证明:∵an=2an-1+1
∴an+1==2an-1+2
∴an+1==2(an-1+1)
∴数列{an+1}是以2为公比的等比数列
又∵a1=1,∴a1+1=2
∴an+1=2·2n-1,
∴an=2n-1
∴an+1==2an-1+2
∴an+1==2(an-1+1)
∴数列{an+1}是以2为公比的等比数列
又∵a1=1,∴a1+1=2
∴an+1=2·2n-1,
∴an=2n-1
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