Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD= 1 2 AB，点E、F分别为边BC，AC的中点（1

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD= 1 2 AB，点E、F分别为边BC，AC的中点（1）求证：四边形AEFD是平行四边形．（2）若BC=10cm，求DF的长．（3）若BC=10cm，且∠C=30°，求四边形AEFD的面积．

Answer 1

（1）证明：∵点E、F分别为边BC，AC的中点， 即EF是△ABC的中位线， ∴EF ∥ AB，EF= 1 2 AB， 即EF ∥ AD， ∵AD= 1 2 AB， ∴EF=AD， ∴四边形AEFD是平行四边形； （2）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E边BC的中点， ∴AE= 1 2 BC= 1 2 ×10=5（cm）， ∵四边形AEFD是平行四边形， ∴DF=AE=5cm； （3）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E边BC的中点， ∴AE=EC= 1 2 BC= 1 2 ×10=5（cm）， ∵EF ∥ AB，∠BAC=90°， ∴∠EFC=90°， ∵∠C=30°， ∴EF= 1 2 EC= 5 2 cm，CF=CE?cos∠C=5× 3 2 = 5 3 2 （cm）， ∵点F边AC的中点， ∴AF=CF 5 3 2 cm， ∴S △AEF = 1 2 AF?EF= 1 2 × 5 3 2 × 5 2 = 25 3 8 （cm 2 ）， ∴S 四边形AEFD =2S △AEF = 25 3 4 cm 2 ．