Question

如图，在△ABC中，点O在AB边上，以O为圆心的圆经过A，C两点，交AB于点D，且2∠A+∠B=90°，（1）求证：BC

如图，在△ABC中，点O在AB边上，以O为圆心的圆经过A，C两点，交AB于点D，且2∠A+∠B=90°，（1）求证：BC是⊙O的切线．（2）若OA=6，且OD=BD，求AC的长．

Answer 1

（1）证明：连接OC， ∵ CD = CD ， ∴∠COD=2∠A， ∵2∠A+∠B=90°， ∴∠COD+∠B=90°， 在△OCB中，∠OCB=90°， ∴BC是⊙O的切线； （2）连接CD， ∵∠COB=2∠A，2∠A+∠B=90°， ∴∠B+∠COA=90°， ∵CD= 1 2 BO， ∵OD=BD， ∴CD= 1 2 AD， ∴∠A=30° ∴cos30°= AC AD ， ∵AD=2AB=12， ∴AC=6 3 ．