Question

如图所示，已知抛物线y=x 2 -1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C。（1）求A、B、C三点的坐标；（2）过点A

如图所示，已知抛物线y=x 2 -1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C。（1）求A、B、C三点的坐标；（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积；（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG垂直x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由。

Answer 1

解：（1）令y=0，得x 2 -1=0， 解得x=士1， 令x=0，得y= -1， ∴A（1，0），B（-1，0），C（0，-1）； （2）∵OA=OB=OC=1， ∴∠BAC=∠ACO=∠BC0=45°， ∵AP∥CB， ∴∠PAB=45°， 过点P作PE⊥x轴于E，则△APE为等腰直角三角形， 令OE =a，则PE=a+1， ∴P（-a，a+1）， ∵点P在抛物线y=x 2 -1上， ∴a+1=a 2 -1， 解得a 1 =2，a 2 =-1（不合题意，舍去）， ∴PE=3， ∴四边形ACBP的面积S= AB·OC+ AB·PE = ×2×1+ ×2×3=4； （3）假设存在， ∵∠PAB=∠BAC=45°， ∴PA⊥AC， ∵MG垂直x轴于点G， ∴∠MGA=∠PAC=90°， 在Rt△AOC中，OA=OC=1， ∴AC= 在Rt△PAE中，AE=PE=3， ∴AP=3 设M点的横坐标为m，则M（m，m 2 -1）， ①点M在y轴右侧时，则m>1， （i）当△AMG∽△PCA时，有 ， ∵AG=m-1，MG=m 2 -1， 即 解得m 1 =1（舍去），m 2 =- （舍去）， （ ii）当△MAC∽△PCA时有 ， 即 解得：m 1 =1（舍去），m 2 =2， ∴M（2，3）， ②点M在y轴左侧时，则m<-1， （i）当△AMG∽△PCA时有 ， ∵AG=-m+1，MG=m 2 -1， ∴ 解得m 1 =1（舍去），m 2 =- ， ∴M（- ， ）， （ ii） 当△MAG∽△PCA时有 ， 即 解得：m 1 =1（舍去），m 2 =-4， ∴M（-4，15）， ∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似， M点的坐标为（2，3），（- ， ）或（-4，15）。