Question

已知函数y=f（x）是二次函数，且f（0）=8，f（x+1）-f（x）=-2x+1．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求证f

已知函数y=f（x）是二次函数，且f（0）=8，f（x+1）-f（x）=-2x+1．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求证f（x）在区间[1，+∞）上是减函数．

Answer 1

（Ⅰ）设f（x）=ax 2 +bx+c∴f（0）=c，又f（0）=8∴c=8 又f（x+1）=a（x+1） 2 +b（x+1）+c ∴f(x+1)-f(x) =[a(x+1 ) 2 +b(x+1)+c]-(a x 2 +bx+c) =2ax+(a+b) 结合已知得：2ax+（a+b）=-2x+1， ∴ 2a=-2 a+b=1 ∴a=-1，b=2 ∴f（x）=-x 2 +2x+8 （Ⅱ）证明：设任意的x 1 ，x 2 ∈[1，+∞）且x 1 ＜x 2 ， f( x 1 )-f( x 2 ) =(- x 1 2 +2 x 1 +8)-(- x 2 2 +2 x 2 +8) =( x 2 2 - x 1 2 )+2(x   1 - x 2 ) =( x 2 - x 1 )( x 2 + x 1 -2) 又由假设知x 2 -x 1 ＞0，而x 2 ＞x 1 ≥1 ∴x 2 +x 1 -2＞0∴（x 2 -x 1 ）（x 2 +x 1 -2）＞0 即f（x 1 ）-f（x 2 ）＞0，即f（x 1 ）＞f（x 2 ） ∴f（x）在区间[1，+∞）上是减函数．