Question

函数f（x）=sinx．（1）令f1（x）=f′（x），fn+1（x）=fn′（x），（n∈N*），求f2014（x）的解析式；（

函数f（x）=sinx．（1）令f1（x）=f′（x），fn+1（x）=fn′（x），（n∈N*），求f2014（x）的解析式；（2）若f（x）+1≥ax+cosx在[0，π]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由题意得：f₁（x）=cosx，f₂（x）=-sinx，f₃（x）=-cosx，f₄（x）=sinx，…，周期为4，
∴f₂₀₁₄（x）=f_503×4+2（x）=f₂（x）=-sinx．
（Ⅱ）设g（x）=sinx+1-ax-cosx，g′（x）=cosx-a+sinx=

2

sin（x+

π

4

）-a．
∵x∈[0，π]，∴

2

sin（x+

π

4

）∈[-1，

2

]．
当a≤-1时，g′（x）≥0在[0，π]上恒成立，
∴g（x）≥g（x）_min=g（0）=0成立，
故a≤-1；
当a≥

2

时，g′（x）≤0在[0，π]上恒成立，g（x）=g（π）=2-πa≥0，得a≤

2

π

，无解．
当-1＜a＜

2

时，则存在x₀∈（0，π]使得x∈（0，x₀）时，g（x）是增函数，x∈（x₀，π]时，g（x）是减函数，
故g（x）_min=g（0），或g（x）_min=g（π），
∴

g(0)≥0 g(π)≥0

，