
已知函数f(x)的值满足f(x)>0(当x≠0时),对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)?f(y),且f(-1)=1
已知函数f(x)的值满足f(x)>0(当x≠0时),对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)?f(y),且f(-1)=1,f(27)=9,当0<x<1时,f(x)∈(0,...
已知函数f(x)的值满足f(x)>0(当x≠0时),对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)?f(y),且f(-1)=1,f(27)=9,当0<x<1时,f(x)∈(0,1).(1)求f(1)的值,判断f(x)的奇偶性并证明;(2)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给出证明;(3)若a≥0且f(a+1)≤39,求a的取值范围.
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(1)令x=y=-1,f(1)=1,
令y=-1,则f(-x)=f(x)?f(-1),∵f(-1)=1,
∴f(-x)=f(x),f(x)为偶函数;
(2)f(x)在(0,+∞)上是增函数,
证明:设0<x1<x2,∴0<
<1,
f(x1)=f(
?x2)=f(
)?f(x2),
△y=f(x2)?f(x1)=f(x2)?f(
)f(x2)=f(x2)(1?f(
)),
∵0<f(
)<1,f(x2)>0,
∴f(x1)<f(x2),
故f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)∵f(27)=9,
又f(3×9)=f(3)×f(9)=[f(3)]3,
∴9=[f(3)]3,∴f(3)=
,
∵f(a+1)≤
,∴f(a+1)≤f(3),
∵a≥0,a+1,3都大于0,∴a+1≤3,即a≤2,
又a≥0,故0≤a≤2.
令y=-1,则f(-x)=f(x)?f(-1),∵f(-1)=1,
∴f(-x)=f(x),f(x)为偶函数;
(2)f(x)在(0,+∞)上是增函数,
证明:设0<x1<x2,∴0<
x1 |
x2 |
f(x1)=f(
x1 |
x2 |
x1 |
x2 |
△y=f(x2)?f(x1)=f(x2)?f(
x1 |
x2 |
x1 |
x2 |
∵0<f(
x1 |
x2 |
∴f(x1)<f(x2),
故f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)∵f(27)=9,
又f(3×9)=f(3)×f(9)=[f(3)]3,
∴9=[f(3)]3,∴f(3)=
3 | 9 |
∵f(a+1)≤
3 | 9 |
∵a≥0,a+1,3都大于0,∴a+1≤3,即a≤2,
又a≥0,故0≤a≤2.
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