已知函数f（x）=|x+1|+2|x-1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4；（Ⅱ）若不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成
已知函数f（x）=|x+1|+2|x-1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4；（Ⅱ）若不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．...
已知函数f（x）=|x+1|+2|x-1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4；（Ⅱ）若不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
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（I）f(x)=
．…（1分）
当x≤-1时，由-3x+1＜4得x＞-1，此时无解；
当-1＜x≤1时，由-x+3＜4得x＞-1，∴-1＜x≤1；
当x＞1时，由3x-1＜4得x＜
，∴1＜x＜
．…（4分）
综上，所求不等式的解集为{x|-1＜x＜
}．…（5分）
（II）由（I）的函数解析式可以看出函数f（x）在（-∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，故f（x）在x=1处取得最小值，最小值为f（1）=2，…（7分）
不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立等价于|a+1|≤2，
即-2≤a+1≤2，解得-3≤a≤1，故a的取值范围为{a|-3≤a≤1}．…（10分）
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当x≤-1时，由-3x+1＜4得x＞-1，此时无解；
当-1＜x≤1时，由-x+3＜4得x＞-1，∴-1＜x≤1；
当x＞1时，由3x-1＜4得x＜
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综上，所求不等式的解集为{x|-1＜x＜
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（II）由（I）的函数解析式可以看出函数f（x）在（-∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，故f（x）在x=1处取得最小值，最小值为f（1）=2，…（7分）
不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立等价于|a+1|≤2，
即-2≤a+1≤2，解得-3≤a≤1，故a的取值范围为{a|-3≤a≤1}．…（10分）
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