Question

求两道高中数学题的解析

（1）若关于方程ax^2+（3a-1）x+11a-1=0在（-1，正无穷）内有解 则实数a的取值范围为
（2）已知x^2+ax>=4X+A-3在对于任意a属于[-2,4] 恒成立 则x 的取值范围为

Answer 1

（1）
a=0时, x = -1, 不满足条件.
a<>0时,
有解需满足判别式条件: -35a^2 -2a +1 >=0, 解出 a< -1/5或 a> 1/7
解>-1即对称轴要>-1, 即-（3a-1)/2a >-1, 可以解出0<a<1
综合, 可得1/7<a<1

(2) 其实还是判别式和对称轴的问题。 二次函数掌握这两点就都可以应付了.
假定你写的x/X, a/A是一样的。
也就是X^2 + (a-4)X + (3-a) >=0 在a 于[-2,4]时恒成立。
这个曲线是开口向上的
先看根的情况： x = ((4-a) +/- SQR((a-4)^2 -4(3-a)))/2 = (4-a+/-|a-2|)/2
也就是x是一定有根的.
再看对称轴, 是 2-a/2
当4>=a>=2时, 可以知道根是x1 = 1, x2 = 3-a , 可知-1=<x2<=1 , 这时满足条件的x范围是 x <=-1 或 x>=1

当 -2=<a<=2时, 可以知道根是x1 = 1, x2 = 3-a , 可知1=<x2<=5 , 这时满足条件的x范围是 x <=1 或 x>=5

综合以上, x <=-1 或x=1或 x>=5时， 对于-2=<a<=4, 该式恒成立
注意以上集合合并时不要把 x=1这个漏了, x=1时， 实际上对于任意a都成立

Answer 2

(1)ax^2+（3a-1）x+11a-1=0 解得a=(X+1)/(X^2+3X+11) 由于x+1在（0，正无穷），(X^2+3X+11)在（9，正无穷）由此可得(X+1)/(X^2+3X+11)>0 那么a>0.
(2)x^2+ax>=4x+a-3解得a<=(x^2-4x+3)/（-x+1）再得a<=-x+3再得x<=3-a.当a在【-2，0】时，x在【3，5】,当a在（0，4】时，x在【-1，0） 所以得x在【-1，5】

Answer 3

(1)
Δ>=0 ，求得a的范围

.....
(2)
x²+ax＞4x+a-3
即x²+ax-4x-a+3＞0
a(x-1)+x²-4x+3>0
令f(a)=a(x-1)+x²-4x+3
这样，上式是关于a的一次函数
为使-2≤a≤4，f(a)>0恒成立
只需
f(-2)>0
f(4)>0
即可
解之x的范围是(-∞，-1)∪(5，+∞)