Question

定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），已知f（x+1）是偶函数（x-1）f′（x）＜0．若x 1 ＜x 2 ，且x

定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），已知f（x+1）是偶函数（x-1）f′（x）＜0．若x 1 ＜x 2 ，且x 1 +x 2 ＞2，则f（x 1 ）与f（x 2 ）的大小关系是（　　） A．f（x 1 ）＜f（x 2 ） B．f（x 1 ）=f（x 2 ） C．f（x 1 ）＞f（x 2 ） D．不确定

Answer 1

因为f（x+1）是偶函数，所以f（-x+1）=f（x+1），则f（x）的图象关于x=1对称， 由（x-1）f′（x）＜0得，x＞1时f′（x）＜0，f（x）单调递减，x＜1时f′（x）＞0，f（x）单调递增， 若x 1 ≤1，由x 1 +x 2 ＞2，得x 2 ＞2-x 1 ≥1， 所以f（x 1 ）=f（2-x 1 ）＞f（x 2 ）； 若x 1 ＞1，则1＜x 1 ＜x 2 ，所以f（x 1 ）＞f（x 2 ）， 综上知f（x 1 ）＞f（x 2 ）， 故选C．