Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=12（|x-a2|+|x-2a2|-3a2）．若?x∈R，f（x-2）≤f

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=12（|x-a2|+|x-2a2|-3a2）．若?x∈R，f（x-2）≤f（x），则实数a的取值范围为______．

Answer 1

∵当x≥0时，f（x）=

1

2

（|x-a²|+|x-2a²|-3a²）．
∴当0≤x≤a²时，f(x)＝

1

2

(a2?x+2a2?x?3a2)=-x；
当a²＜x≤2a²时，f（x）=-a²；
当x＞3a²时，f（x）=x-3a²．
画出其图象．
由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，即可画出x＜0时的图象，
与x＞0时的图象关于原点对称．
∵?x∈R，f（x-2）≤f（x），
∴6a²≤2，
解得?

3

3

≤a≤

3

3

．
∴实数a的取值范围为?

3

3

≤a≤

3

3

．
故答案为：[?

3

3

，

3

3

]．